Binomische Formeln

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Es ergibt sich sortiert

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(a+b{)}^3}& =\hfill & a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(a+b{)}^4}& =\hfill & a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(a+b{)}^5}& =\hfill & a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(a+b{)}^6}& =\hfill & a^6+6a^{5}b+15a^4{b}^2+20a^3{b}^3+15a^2{b}^4+6a{b}^5+b^6\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$
Zusammenhang zum Pascalschen Dreieck: Schreibt man die einzelnen Summanden wie hier geschehen mit absteigenden Potenzen von $a$ auf, so lassen sich die Zahlen vor den Variablen (die so genannten „Koeffizienten“) direkt aus dem Pascalschen Dreieck ablesen: Die Koeffizienten für $(a+b{)}^5$ lassen sich beispielsweise in der sechsten Zeile finden. Außerdem beträgt in der ausmultiplizierten Form von $(a+b{)}^n$ die Summe der Exponenten von $a$ und $b$ bei den einzelnen Summanden stets $n$.
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Man schreibt die $a$ - Potenzen absteigend und die $b$ - Potenzen aufsteigend, sodass die Summe der Exponenten von $a$ und $b$ bei den einzelnen Summanden stets $n$ ergibt. Die Koeffizienten für $(a+b{)}^n$ lassen sich in der n + 1 Zeile des Pascalschen Dreieck finden.
Für $(a+b{)}^8$ ergibt sich analog aus der neunten Zeile:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(a+b{)}^8}& =\hfill & a^8+8a^{7}b+28a^6{b}^2+56a^5{b}^3+70a^4{b}^4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & +56a^3{b}^5+28a^2{b}^6+8a{b}^7+b^8\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$

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Für $(a+b{)}^9$ benötigt man zunächst die $10.$ Zeile des Pascal′schen Dreiecks. Betrachtet man die einzelnen Zahlen im Dreieck noch einmal genauer, so stellt man fest, dass sich diese stets durch Addition der beiden darüber stehenden Zahlen berechnen lassen. Insgesamt folgt damit:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(a+b{)}^9}& =\hfill & a^9+9a^{8}b+36a^7{b}^2+84a^6{b}^3+126a^5{b}^4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \hfill & +126a^4{b}^5+84a^3{b}^6+36a^2{b}^7+9a{b}^8+b^9\hfill \end{array}}$

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Analoges gilt für $(a-b{)}^n$, nur muss hier zusätzlich auf die Vorzeichen geachtet werden:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(a-b{)}^2}& =\hfill & a^2-2ab+b^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(a-b{)}^3}& =\hfill & a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(a-b{)}^4}& =\hfill & a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{(a-b{)}^5}& =\hfill & a^5-5a^{4}b+10a^3{b}^2-10a^2{b}^3+5a{b}^4-b^5\hfill \end{array}}$
Offensichtlich lassen sich auch hier die Koeffizienten aus dem Pascal′schen Dreieck ablesen, nur ist der erste Summand stets positiv, der zweite stets negativ, der dritte wieder positiv usw.
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