Binomische Formeln

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$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ und nicht $a^2-b^2\hspace{0.5em}.$
$(r+s{)}^2=r^2+2rs+s^2$ auch in diesem Fall war die Umformung falsch.
$(f-k{)}^2=f^2+k^2-2fk$ hier lag ein Vorzeichenfehler vor.
$u^2-v^2=(u-v)(u+v)$ und nicht $(v-u)(u+v)$.
$(o-c{)}^2=o^2-2oc+c^2$ und nicht $o^2-oc+c^2\hspace{0.5em}.$
$16+8a+a^2$ kann zu $(4+a{)}^2$ vereinfacht werden, die vorliegende Lösung ist hingegen falsch.
$p^2-p2q+q^2=p^2-2pq+q^2=(p-q{)}^2$ ist korrekt.
$(a·b{)}^2=a^2·b^2$ Die oben angegebene Gleichung war also falsch.
$(w+i)(-i+w)=(w+i)(w-i)=w^2-i^2$ ist richtig.
$z^2+j^2+zj2=z^2+2jz+j^2=(z+j{)}^2$ auch dies ist richtig.
$(8a^2+5b^2{)}^2=64a^4+80a^2{b}^2+25b^4\hspace{0.5em}.$ Bei der vorliegenden Lösung wurde vergessen, $a^2$ zu $a^4$ zu quadrieren.
$(24h-12b{)}^2=576h^2-576hb+144b^2\hspace{0.5em}.$ Es wurde oben also vergessen, im mittleren Term mit $12$ zu multiplizieren.

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(c+d{)}^3}& =\hfill & (c+d{)}^2·(c+d)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & (c^2+2cd+d^2)(c+d)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & c^3+c^{2}d+2c{d}^2+2c^{2}d+d^{2}c+d^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & c^3+3c^{2}d+3c{d}^2+d^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \text{und nicht}\hfill & c^3+d^3\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$

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Die Gleichung ist falsch. Ein mögliches Gegenbeispiel erhält man, indem man für $a=2$ und $b=3$ einsetzt:
$(2+3{)}^3=5^3=125$ aber $2^3+3·2·3+3^3=8+18+27=53$ Weitere Gegenbeispiele findet man, indem man andere Zahlen für $a$ und $b$ einsetzt. Die obige Gleichung müsste korrekt lauten:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(a+b{)}^3}& =\hfill & (a+b{)}^2·(a+b)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & (a^2+2ab+b^2)·(a+b)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & (a^2+2ab+b^2)·a+(a^2+2ab+b^2)·b\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\hfill \end{array}}$

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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & (5a+4{)}^2-(3a-5{)}^2+4(a+3)(a-3)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 25a^2+2·5a·4+16-(9a^2-2·3a·5+25)+4(a^2-9)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 25a^2+40a+16-9a^2+30a-25+4a^2-36\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 20a^2+70a-45\hfill \end{array}}$

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Zunächst teilen wir die Zahl geschickt in eine Summe auf:

${\displaystyle \mathrm{0,998}=1-\mathrm{0,002}=1-\frac{2}{1000}\hspace{0.5em}.}$
Dann rechnen wir:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{{\mathrm{0,998}}^2}& =\hfill & {(1-\frac{2}{1000})}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1^2-2·1·\frac{2}{1000}+{\left(\frac{2}{1000}\right)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1-\frac{4}{1000}+\frac{4}{1\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1-\mathrm{0,004}+\mathrm{0,000004}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,996004}\hfill \end{array}}$

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${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{{\mathrm{1,002}}^2}& =\hfill & (1+\mathrm{0,002}{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1^2+2·\mathrm{0,002}+{\mathrm{0,002}}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1+\mathrm{0,004}+\mathrm{0,000004}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{1,004004}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{{\mathrm{0,999}}^2}& =\hfill & (1-\mathrm{0,001}{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1^2-2·\mathrm{0,001}+{\mathrm{0,001}}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1-\mathrm{0,002}+\mathrm{0,000001}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,998001}\hfill \end{array}}$

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Falsches Potenzieren: Es wurde vergessen, die einzelnen Terme $(3x$ bzw. $5y)$ komplett zu quadrieren. Korrekt wäre:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(3x+5y{)}^2}& =\hfill & (3x{)}^2+2·3x·5y+(5y{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 9x^2+30xy+25y^2\hfill \end{array}}$

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Vorzeichenfehler: Vor $m^2$ fehlt das Minuszeichen. Korrekt wäre:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(1-m)(m+1)}& =\hfill & (1-m)(1+m)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1^2-m^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -m^2+1\hfill \end{array}}$

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Missachtung der Termstruktur: Die Klammer wurde einfach aufgelöst und der Exponent auf die Summanden verteilt. Hier hätte die erste binomische Formel angewandt werden müssen. Korrekt wäre:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(8z+9w{)}^2}& =\hfill & (8z{)}^2+2·8z·9w+(9w{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 64z^2+144wz+81w^2\hfill \end{array}}$

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Missachtung der Voraussetzungen: Bei diesem Beispiel ist die Anwendung einer binomischen Formel nicht möglich. Korrekt wäre:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & (2t-4)(9t+5)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 2t·9t+2t·5+(-4)·9t+(-4)·5\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 18t^2-26t-20\hfill \end{array}}$

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Hier wurde vergessen, die Variablen $p$ und $s$ zu quadrieren. Korrekt wäre:     $(9p-7s)(9p+7s{)}^2=(9p{)}^2-(7s{)}^2=81p^2-49s^2\hspace{0.5em}.$
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Mehrere Fehler: Eine binomische Formel kann hier nicht angewandt werden, da hierzu die Voraussetzungen fehlen. Zudem wurden die binomischen Formeln falsch angewandt. Korrekt wäre:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & (-9-i)(6-i)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & (-9)·6+(-9)·(-i)+(-i)·6+(-i)·(-i)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -54+9i-6i+i^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & i^2+3i-54\hfill \end{array}}$

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Vorzeichenfehler: Das Minuszeichen vor $d^2$ ist falsch, da $(-d{)}^2=d^2\hspace{0.5em}.$ Es wurde also falsch quadriert. Korrekt wäre:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(-d+e{)}^2}& =\hfill & (-d{)}^2+2·(-d)·e+(e{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & d^2-2de+e^2\hfill \end{array}}$

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